Zwischen den Planeten und der Sonne wirkt die Gravitationskraft:
Aus dieser Tatsache folgt das
1. Gesetz von Kepler: |
Dabei kann in guter Näherung die Anziehungskraft der Planeten untereinander, wegen der großen Masse der Sonne (um drei Zehnerpotenzen größer als die aller Planeten), vernachlässigt werden.
Wenn
die Kraft zwischen Sonne und Planet ist und
der Abstand vom gemeinsamen Massenmittelpunkt zum Planeten, dann ist
da
ist.
Damit ist auch
Der Drehimpuls bleibt unverändert.
Dies gilt für alle Zentralkräfte. Da der Massenmittelpunkt innerhalb der Sonne liegt, ist damit gleichwertig das
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2. Gesetz von Kepler: |
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Zweites Keplersches Gesetz: Der Spezialfall: Sonne S und
ein einziger Planet werden betrachtet. Der Drehimpuls des Planeten relativ zur
Sonne S ist längs seiner ganzen Bahn konstant. Da die Masse der Sonne wesentlich
größer ist als die Masse des Planeten, ist damit gleichbedeutend: Der Leitstrahl
überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (Dreieck 1 = Dreieck 2). Der
Deutlichkeit halber ist eine stark exzentrische Ellipse gezeichnet (kommt bei
Kometen vor!). Die Bahnen der Planeten sind fast kreisförmig (Exzentrizität
sehr gering). Unter Exzentrizität versteht man den Quotienten (Abstand der beiden
Brennpunkte voneinander) / (Länge der großen Achse).
Dies folgt aus der Erhaltung des Drehimpulses des Planeten, also aus
Dividiert man durch m und multipliziert mit dt, so entsteht für die Beträge
Das ist jeweils das Doppelte der in der Abb. eingezeichneten, nahezu dreieckigen Flächenstücke.
3. Gesetz von Kepler: |
Für die Zentralkraft gilt:
.
Bei den nahezu kreisförmigen Planetenbahnen kann man setzen:
mit
Durch Einsetzen und Umordnen folgt:
(es gilt aber: 
)
