Die Exponentialfunktion
Um 1740 von Euler begründet und erstmals den Buchstaben „e“ eingeführt für die „natürliche Exponantialfunktion“
Aus der Gleichung
schließt man auf die Relation
für unendlich kleine . Dabei sei aus Stetigkeitsgründen wieder eine unendlich kleine Zahl. Man setzt . ist demnach der Logarithmus von zur Basis a
Ein Beispiel zeigt, daß die Zahl k von der Basis a abhängt: für und ist
k ist also eine endliche Zahl. Jetzt bildet man die i-te Potenz auf beiden Seiten der Gleichung
und entwickelt davon die rechte Seite nach dem binomischen Lehrsatz
i ist dabei eine beliebige Zahl. Setzt man: , wobei z irgend eine endliche Zahl bedeutet, so wird, da unendlich klein ist, also i unendlich groß sein. Einsetzen von für führt auf
Dies ist eine Gleichung für die endliche Potenz , bei der auf der rechten Seite aber leider noch die unendlich großen Zahlen stehen.
Jetzt argumentiert man, daß für unendlich große Zahlen i gilt:
und entsprechend
Damit wird die Reihe zu
und weiters
Zur Herleitung einer Reihe für den Logarithmus setzt man nun
weil
Daraus folgt
Wieder wird die rechte Seite in einer Binomialreihe entwickelt und man gewinnt eine Reihe für
mit der obigen Vereinfachung folgt
Dies wird besonders einfach für . Für diesen Wert bezeichnet man die Basis mit dem Buchstaben e
insbesondere gilt für die Basis e
Euler berechnet die Basis e der „natürlichen Logarithmen“ auf 23 Stellen:
Die Reihe für sieht dann so aus:
Euler findet noch die wichtige Formel
für unendlich großes i. Sie entspricht der modernen Darstellung
ganz allgemein hat die Exponentialfunktion die Form:
Anwendungen in den Naturwissenschaften
Wachstumsfunktionen
z.B.: des Waldes
Baumbestand nimmt jährlich um p % zu, daher multupliziert sich das Volumen jährlich mit
wird nicht geschlägert, gilt
z.B.: von Bakterien
Sind Bakterien in Nährlösung, vergeht zwischen aufeinanderfolgenden Teilungen im Mittel die Zeit (Verdopplungszeit), gilt
z.B.:Abnahme des Luftdruckes
Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe ab und zwar sinkt er jeweils um die Hälfte, wenn die Höhe um etwa 5,5 km zunimmt
z.B.: gedämpfte Schwingungen
Durch Reibung nimmt Amplitude ab, mit konstantem Faktor q (q < 1). Nach n Schwingungen ist Amplitude mit Ausgangswert auf den Wert a gesunken
z.B.: Absorbtion von Licht
Verliert Licht beim Durchgang durch ein durchsichtiges Material der Dicke h die Hälfte seiner Intensität, nach der nächsten Schicht wieder und so fort, gilt nach der Schichtdicke x
Zerfallsfunktion:
radioaktiver Zerfall:
Die Zeit, in der von einem vorhandenen Quantum die Hälfte zerfällt, heißt Halbwertszeit.
Skizze eines Beispiels:
Wachstum
Anzahl der Menschen zur Zeit t und r der Unterschied zwischen Geburten- und Sterberate, dann
Die Änderung der Bevölkerung pro Zeiteinheit. Im einfachsten Fall ist r = konst. Dies ist das mathematische Modell für das Malthussche Bevölkerungsgesetz. Da man weiß, wieviel Menschen zur Zeit 1950 gelebt haben, gilt außerdem (Anfangswertproblem).
Die Lösung ist dann:
Ist die Anzahl sehr groß, fällt die Zunahme um ein paar Menschen nicht ins Gewicht, daher bleibt die Funktion stetig. Bleibt die Frage ob so ein Modell sinnvoll ist. r erhält man, indem man mit zwei reellen Werten vergleicht: Für 1950 und 1970 erhält man in Mio gemessen
und damit
Jahr
1
1850
1940
1950
1960
1970
1980
1990
ca.160
ca.1200
2249
2509
3010
3632
4419
5,5 10-13
395
2085
2509
3019
3632
4371
5259
nur für „kleine“ Zeiträume genau! Laut der Formel können im Jahr 1 überhaupt keine Menschen gelebt haben. Im Jahr 2700 würden dagegen etwa 2 662 788 041 Mio Menschen leben
1837 holländischer Biomathematiker stellt das „logistische Gesetz“ des Populationswachstums auf:
sind positive Konstanten. umso kleiner, je größer der dem einzelnen Exemplar zur Verfügung stehende Lebensraum und je mehr Nahrungsmittel. ein Erfahrungswert, der heute zu berechnet wird. können durch verbesserte medizinische Betreuung, technologische Entwicklungen, Naturkatstrophen, Umweltverschmutzung, etc. beeinflußt werden. Man kann viele Verbesserungen einbauen, langfristig bleibt es sehr fragwürdig.
Mit findet man:
Wird t immer größer, nähert sich der Quotient immer mehr dem Ausdruck , also
Mit anderen Worten, die Zuwachsrate strebt den Wert Null an. Mit obigem ergibt sich für
und damit die Erdbevölkerung zu
Milliarden Menschen.