Die Exponentialfunktion

Herleitung durch Reihenentwicklung

Um 1740 von Euler begründet und erstmals den Buchstaben „e“ eingeführt für die „natürliche Exponantialfunktion“

Aus der Gleichung

schließt man auf die Relation

für unendlich kleine . Dabei sei aus Stetigkeitsgründen  wieder eine unendlich kleine Zahl. Man setzt .  ist demnach der Logarithmus von  zur Basis a

Ein Beispiel zeigt, daß die Zahl k von der Basis a abhängt: für  und  ist

k ist also eine endliche Zahl. Jetzt bildet man die i-te Potenz auf beiden Seiten der Gleichung

und entwickelt davon die rechte Seite nach dem binomischen Lehrsatz

i ist dabei eine beliebige Zahl. Setzt man: , wobei z irgend eine endliche Zahl bedeutet, so wird, da  unendlich klein ist, also i unendlich groß sein. Einsetzen von  für  führt auf

Dies ist eine Gleichung für die endliche Potenz , bei der auf der rechten Seite aber leider noch die unendlich großen Zahlen  stehen.

Jetzt argumentiert man, daß für unendlich große Zahlen i gilt:

und entsprechend

               

Damit wird die Reihe zu

und weiters

Zur Herleitung einer Reihe für den Logarithmus setzt man nun

weil

Daraus folgt

Wieder wird die rechte Seite in einer Binomialreihe entwickelt und man gewinnt eine Reihe für

mit der obigen Vereinfachung folgt

Dies wird besonders einfach für . Für diesen Wert bezeichnet man die Basis mit dem Buchstaben e

insbesondere gilt für die Basis e

Euler berechnet die Basis e der „natürlichen Logarithmen“ auf 23 Stellen:

Die Reihe für  sieht dann so aus:

Euler findet noch die wichtige Formel

für unendlich großes i. Sie entspricht der modernen Darstellung

ganz allgemein hat die Exponentialfunktion die Form:

Anwendungen in den Naturwissenschaften

Wachstumsfunktionen

z.B.: des Waldes

Baumbestand nimmt jährlich um p % zu, daher multupliziert sich das Volumen jährlich mit

wird nicht geschlägert, gilt

z.B.: von Bakterien

Sind  Bakterien in Nährlösung, vergeht zwischen aufeinanderfolgenden Teilungen im Mittel die Zeit (Verdopplungszeit), gilt

z.B.:Abnahme des Luftdruckes

Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe ab und zwar sinkt er jeweils um die Hälfte, wenn die Höhe um etwa 5,5 km zunimmt

z.B.: gedämpfte Schwingungen

Durch Reibung nimmt Amplitude ab, mit konstantem Faktor q (q < 1). Nach n Schwingungen ist Amplitude mit Ausgangswert  auf den Wert a gesunken

z.B.: Absorbtion von Licht

Verliert Licht beim Durchgang durch ein durchsichtiges Material der Dicke h die Hälfte seiner Intensität, nach der nächsten Schicht wieder und so fort, gilt nach der Schichtdicke x

Zerfallsfunktion:

radioaktiver Zerfall:

Die Zeit, in der von einem vorhandenen Quantum die Hälfte zerfällt, heißt Halbwertszeit.

Skizze eines Beispiels:

Wachstum

 Anzahl der Menschen zur Zeit t und r der Unterschied zwischen Geburten- und Sterberate, dann

Die Änderung der Bevölkerung pro Zeiteinheit. Im einfachsten Fall ist r = konst. Dies ist das mathematische Modell für das Malthussche Bevölkerungsgesetz. Da man weiß, wieviel Menschen zur Zeit  1950 gelebt haben, gilt außerdem  (Anfangswertproblem).

Die Lösung ist dann:

Ist die Anzahl sehr groß, fällt die Zunahme um ein paar Menschen nicht ins Gewicht, daher bleibt die Funktion stetig. Bleibt die Frage ob so ein Modell sinnvoll ist. r erhält man, indem man mit zwei reellen Werten vergleicht: Für 1950 und 1970 erhält man in Mio gemessen

und damit

Jahr

1

1850

1940

1950

1960

1970

1980

1990

 

ca.160

ca.1200

2249

2509

3010

3632

4419

   

5,5 10-13

395

2085

2509

3019

3632

4371

5259

nur für „kleine“ Zeiträume genau! Laut der Formel können im Jahr 1 überhaupt keine Menschen gelebt haben. Im Jahr 2700 würden dagegen etwa 2 662 788 041 Mio Menschen leben

1837 holländischer Biomathematiker stellt das „logistische Gesetz“ des Populationswachstums auf:

 sind positive Konstanten.  umso kleiner, je größer der dem einzelnen Exemplar zur Verfügung stehende Lebensraum und je mehr Nahrungsmittel. ein Erfahrungswert, der heute zu  berechnet wird.  können durch verbesserte medizinische Betreuung, technologische Entwicklungen, Naturkatstrophen, Umweltverschmutzung, etc. beeinflußt werden. Man kann viele Verbesserungen einbauen, langfristig bleibt es sehr fragwürdig.

Mit  findet man:

Wird t immer größer, nähert sich der Quotient immer mehr dem Ausdruck , also

Mit anderen Worten, die Zuwachsrate strebt den Wert Null an. Mit obigem  ergibt sich für

und damit die Erdbevölkerung zu

 Milliarden Menschen.